Татаро-монгольское иго

Все вопросы насчет возможности ига отпадают, если знать, что собственно представляла из себя монгольская армия. Для более глубокого изучения вопроса, я рекомендовал бы книги Романа Храпачевского. Он большой специалист по средневековым монголам вообще и по их армии в частности.
Но если кратко - то вот:
Армия монголов при Чингисе и его ближайших потомков, состояла, если грубо, из 2-х частей. Собственно монгольские войска и войска собранные из покоренных народов. Причем покоренные народы могли включатся как в состав "монгольских" подразделений, так и составлять собственные "национальные". Монголы, как кочевой народ, находившейся в общем еще в родо-племенном строе и живущие в очень трудных условиях (природных, так и политических) оказались прекрасными воинами. Они были как раз на той ступени развития, когда практически каждый взрослый мужчина - вполне профессиональный воин. Мобилизационный потенциал монголов оценивается в 250 000 человек.
Покоренные народы (населявшие Китай, Среднеазиатские государства, Великую Степь и Поволжье) могли суммарно выставить достаточно большие контингенты. Например корпуса из китайцев составляли ЕМНИП 40-50 000 человек. Были отдельные тумены (10000 воинов) из разных тюркских племен.
Кроме всего прочего, монголами командовали отличные (за редким исключением) командиры, можно сказать гениальные полководцы типа того же Субэдея. В армии царила жесточайшая дисциплина, были отлично отлажены фуражирная служба, разведка, планирование и т.д. Была к моменту похода на Русь и первоклассная артиллерия (камнеметы, стрелометы, огнеметные машины и т.д.).
Монголы использовали "хашар" - т.е. осадную толпу. Это когда перед штурмом крепостей специальные отряды собирали народ покоряемой земли, организовывали в отряды и под конвоем и командованием особо отобранных воинов отправляли как на инженерные работы (устройство дорог и просек в лесах, засыпание рвов, изготовление лестниц и осадных башен), так и непосредственно на штурм укреплений в качестве первой волны. Поэтому защитники были вынуждены сражаться с собственными соплеменниками. Сопротивляться пойманному в хашар было практически невозможно.
Перед Русью монголы покорили Китай (армия Северного Китая, очень разномастная, разноплеменная и состоявшая как из мобилизованных, так и профессиональных воинов была велика, до 1000 000 человек) Но в общем политический раздрай там был почище, чем сейчас на Украине + кто-то из полководцев сражался хорошо, кто-то переходил на сторону монголов или дезертировал. В общем покорили. Государство хорезм-шаха (Самарканд, БУхара и пр.) тоже могло выставить значительную армию, до 400 000 человек. Но там тоже не все в порядке было в политическом плане, армия состояла из множества мобилизованных и разномастных отрядов феодалов, которые по политическим и этническим причинам часто терпеть не могли друг друга. Плюс отвратительное общее планирование войны, дезертирство, переход на сторону врага и т.д. Правда тот же Каир-хан в Отраре, Тимур-Мелик и Джелал-ад-дин, сын хорезм-шаха сражались отважно до самого конца. В общем тоже покорили.
ЧТо касается Руси, то говорить что-то о численность всех войск всех княжеств достаточно сложно. Известно лишь, что профессиональное войско Киевского князя на Калке составляло примерно 10-11 000 воинов. ТОже можно сказать о Галицко-Волынской и Северо-восточной Руси. Ну и плюс мелкие княжества. Все в сумме 40-50 000 воинов. Плюс тюркские федераты (т.н. черные клобуки) еще пара десятков тысяч. Поскольку не было не единого командования, ни политического единства практически все княжества сражались в одиночку. Итог как бы предсказуем.